• Der Apfel steht für Isaac Newton. Ein fallender Apfel soll ihn auf die Idee der Schwerkraft gebracht haben. Mehr dazu in Kapitel 2.2.
• Das Kugelstoßpendel (auch „Newton-Wiege“) steht für Impuls und Stöße. Darunter liegt Newtons Buch Principia, in dem er seine Gesetze aufgeschrieben hat.
• Die alte Zeichnung zeigt eine Maschine mit Zahnrädern und Kurbeln. So hat Mechanik einmal angefangen: als Kunst, Maschinen zu bauen.

„GK Physik 2.1–2.4“ bedeutet: Die Folien gehören zu den Kapiteln 2.1 bis 2.4 im Gegenstandskatalog (GK). Das ist die offizielle Liste, was in der Prüfung drankommen kann.

Nach rechts (x-Achse) steht der Parameter: das, was du selbst veränderst. Nach oben (y-Achse) steht der Messwert: das, was dabei herauskommt.

• Rote Linie y = k · x: Sie startet bei null und geht schnurgerade hoch. Doppelt so viel x gibt doppelt so viel y.
• Grüne Linie y = k · x + a: Genauso steil, aber sie startet schon weiter oben. Das a ist ein Startwert, zum Beispiel eine Grundgebühr.
• k heißt Proportionalitätsfaktor. Er sagt, wie steil die Linie ist, also wie viel y du pro x bekommst. Beim Eis wäre k der Preis pro Kugel.

Der Text rechts sagt: Das Experiment zeigt uns die Art der Zuordnung. Mit dem Faktor k schreibt man daraus eine Formel.

• Antiproportional y = k · 1/x (blau): „Je mehr, desto weniger.“ Eine Pizza wird unter mehr Freunden aufgeteilt. Doppelt so viele Freunde heißt: jedes Stück ist nur halb so groß. Die Kurve fällt erst steil und wird dann flach.
• Quadratisch y = k · x² (rot): Doppelt so viel x gibt viermal so viel y. Eine Pizza mit doppeltem Durchmesser hat viermal so viel Fläche. Die Kurve startet flach und wird immer steiler.

Die quadratische Kurve kommt später wieder: beim freien Fall (h = ½ g t²) und bei der Bewegungsenergie (½ m v²).

Eine Karte von OpenStreetMap: Mit dem Fahrrad geht es von Werder (Havel) (grüner Punkt A, unten links ein Haus) bis zur Hochschule in Potsdam (roter Punkt B, oben das Gebäude). Die rote Linie ist der Weg.

Darunter steht alles, was wir wissen: 10 km in 30 Minuten. Daraus wollen wir die Geschwindigkeit ausrechnen.

Nach rechts die Zeit t, nach oben die Position s (wo bin ich gerade?). Bei t₀ bin ich bei s₀ (Start), bei tᵢ bei sᵢ.

Die Linie ist gerade. Das heißt: In jeder Minute schaffe ich gleich viel Weg. Das nennt man gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.

Wir zeichnen ein Dreieck an die Linie. Die waagrechte Seite ist Δt (wie viel Zeit vergangen ist). Die senkrechte Seite ist Δs (wie viel Weg ich geschafft habe).

Siehst du die kleinen Dreiecke in der Linie? Bei einer Geraden ist es egal, wie groß du das Dreieck machst. Δs geteilt durch Δt kommt immer gleich heraus. Das ist die Steigung.

Die Steigung ist die mittlere Geschwindigkeit: \( v = \frac{s_i - s_0}{t_i - t_0} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \), Einheit m/s.

Warum heißt das Differenzenquotient? „Differenz“ heißt Unterschied (Minus-Rechnung), „Quotient“ heißt Bruch (Geteilt-Rechnung). Es ist also ein Bruch aus zwei Unterschieden.

Das Beispiel: \( v = \frac{10\,\text{km}}{30\,\text{min}} = \frac{1\,\text{km}}{3\,\text{min}} = 20\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \). Warum 20? Eine Stunde hat 60 Minuten, also 20-mal 3 Minuten. In jeden dieser 3-Minuten-Blöcke passt 1 km, also schaffe ich 20 km pro Stunde.

Aus derselben Formel kannst du auch den Weg oder die Zeit ausrechnen:

• Strecke: \( \Delta s = v \cdot \Delta t \). Einheiten: \( \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{s} \). Die Sekunden kürzen sich weg (rot durchgestrichen), übrig bleibt m.
• Zeit: \( \Delta t = \frac{\Delta s}{v} \). Einheiten: \( \frac{\text{m}}{\text{m/s}} = \text{m} \cdot \frac{\text{s}}{\text{m}} \). Die Meter kürzen sich weg, übrig bleibt s.

Die durchgestrichenen Einheiten auf der Folie sind ein Trick zum Selbst-Prüfen: Kommt am Ende die richtige Einheit heraus, war die Rechnung wahrscheinlich richtig.

Jetzt ist die s-t-Linie gekrümmt. Erst wird sie steiler (ich werde schneller), dann flacher (ich werde langsamer).

Das Dreieck mit Δs und Δt verbindet zwei Punkte auf der Kurve. Die Linie dazwischen heißt Sekante. Δs/Δt ist nur die mittlere Geschwindigkeit zwischen diesen zwei Punkten. Wie schnell ich an einem bestimmten Punkt (dem kleinen Kreis) bin, sagt es nicht genau.

Wir machen Δt kleiner und kleiner, bis es fast null ist. Dann wird aus der Sekante die rote Tangente: eine Gerade, die die Kurve nur in diesem einen Punkt berührt.

Ihre Steigung ist die momentane Geschwindigkeit \( v(t) = \frac{ds}{dt} \). Das kleine d statt Δ heißt „unendlich klein“. Der Name Differentialquotient heißt also: ein Bruch aus zwei winzigen Unterschieden. In Mathe heißt das auch Ableitung.

Oben: die Position des Triebwagens in km über der Uhrzeit (7:50 bis 8:00 Uhr). Unten: die Geschwindigkeit in km/h.

Das untere Bild ist die Steigung des oberen: Wo die obere Kurve steil ist, ist die untere hoch (schnell). Wo die obere flach wird, sinkt die untere. Am Ende ist oben alles waagrecht, unten steht die Bahn bei 0.

Jetzt rechnen wir rückwärts: von der Geschwindigkeit zum Weg. Der Trick: Die Fläche unter der v-Kurve ist der zurückgelegte Weg.

Die Fahrt ist in Abschnitte Δt₁ bis Δt₅ geteilt. Im roten Rechteck Δs₂ fährt die Bahn 5 Minuten lang mit 60 km/h:

\( s_2 = 5\,\text{min} \cdot 60\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = 5\,\text{min} \cdot \frac{60\,\text{km}}{60\,\text{min}} = 5\,\text{km} \)

Die Minuten kürzen sich weg (rot durchgestrichen). Rechteck-Fläche heißt einfach Breite mal Höhe, also Zeit mal Geschwindigkeit. Das ist genau Δs = v · Δt von vorhin.

Oben jetzt die Beschleunigung in m/s², unten wieder die Geschwindigkeit.

• Beim Anfahren steigt v schnell → ein großer positiver Zacken bei a.
• Solange v gleich bleibt → a = 0.
• Beim Bremsen sinkt v → a ist negativ (die kleinen Dellen nach unten). Bremsen ist auch eine Beschleunigung! Nur eben in die Gegenrichtung.

\( \vec a = \frac{d\vec v}{dt} \): Beschleunigung ist die Steigung der v-Kurve. Einheit \( \frac{\text{m/s}}{\text{s}} = \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \): um wie viel m/s die Geschwindigkeit pro Sekunde wächst. Beschleunigung ist die Voraussetzung dafür, dass sich die Geschwindigkeit überhaupt ändert.

Ein Bonanzarad (Raleigh Chopper). Die Umdrehungen pro Zeit sind proportional zur Geschwindigkeit.

• Frequenz \( f = \frac{N}{\Delta t} \): Anzahl der Umdrehungen N durch die Zeit. Einheit 1/s (auch Hertz, Hz).
• Geschwindigkeit \( v = f \cdot s_r \): Bei jeder Umdrehung rollt das Rad einmal seinen Umfang s_r ab. Einheiten: \( \frac{1}{\text{s}} \cdot \text{m} = \frac{\text{m}}{\text{s}} \).

Beispiel: Das Rad dreht sich 2-mal pro Sekunde, der Umfang ist 2 m → v = 2 · 2 m/s = 4 m/s.

Ein Punkt läuft auf einem Kreis um die Mitte (+).

• Kreisfrequenz = Winkelgeschwindigkeit \( \omega = \frac{2\pi}{t} = 2\pi \cdot f \). Ein ganzer Kreis ist im Bogenmaß 2π (ungefähr 6,28). ω sagt, wie viel Winkel pro Sekunde geschafft wird. Das t steht hier für die Zeit einer ganzen Runde (Umlaufzeit T = 1/f).
• Bahngeschwindigkeit \( |\vec v| = \frac{2\pi \cdot r}{t} = 2\pi \cdot r \cdot f = \omega \cdot r \): Weg einer Runde (der Umfang 2πr) durch die Zeit einer Runde. Weiter außen (größeres r) ist man bei gleicher Drehzahl schneller.

Der blaue Pfeil \( \vec v \) zeigt immer tangential: entlang der Kreislinie, nicht nach außen.

Das Foto zeigt einen Schleifstein. Die Funken sind winzige glühende Metallstücke. Sobald sie sich lösen, zieht sie nichts mehr zur Mitte. Sie fliegen geradeaus in Richtung von \( \vec v \) weiter. Deshalb sprühen sie tangential weg und nicht im Kreis.

Der rote Pfeil \( \vec F_z \) zeigt zur Mitte. Der kleine Punkt im Winkel bedeutet: Er steht senkrecht (90°) auf \( \vec v \).

• Zentripetal-/Radialbeschleunigung: \( |a_r| = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r \)
• Zentripetalkraft: \( \vec F_z = \vec a_r \cdot m \). Sie hält die Masse auf der Kreisbahn.

„Zentripetal“ heißt „zur Mitte strebend“. Auch wenn das Tempo gleich bleibt, ändert sich ständig die Richtung. Eine Richtungsänderung ist auch eine Beschleunigung.

Links ein Bild: Isaac Newton sitzt unter einem Apfelbaum. Im Jahr 1665 soll er einen fallenden Apfel beobachtet haben. Er fragte sich: Warum fällt der Apfel überhaupt runter?

Rechts sein berühmtes Buch Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687). Darin hat er die Gesetze der Bewegung und der Schwerkraft aufgeschrieben. „Experiment“ heißt: Hier wurde in der Vorlesung etwas vorgeführt.

Er wird beschleunigt! Der rote Ball ist ein Flummi. Der Punkt in der Mitte ist sein Massenmittelpunkt (Schwerpunkt): der Punkt, an dem man sich die ganze Masse vereint denken kann. Dort setzt der Pfeil der Gewichtskraft \( \vec F_G \) an und zeigt nach unten.

• Fallbeschleunigung \( \vec g = 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \): Jede Sekunde wird ein fallender Körper um etwa 10 m/s schneller. Die Einheit kann man auch als \( \frac{\text{m/s}}{\text{s}} \) lesen.
• Gewichtskraft \( \vec F_G = m \cdot \vec g \). Einheit \( \frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^2} = \text{N} \) (Newton).
• Vorsicht: Gewicht ≠ Masse!!!
• Flummi: \( \vec F_{Flummi} = 0{,}05\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 0{,}5\,\text{N} \)

Links ein Haus: Von einem Balkon oben wird ein Flummi fallen gelassen und gefilmt. Daneben stehen die Videobilder als schmale Streifen nebeneinander, ein Streifen pro Moment. Der weiße Strich zeigt, wo der Flummi in jedem Moment war.

Der Strich ist eine Kurve, keine Gerade. Spiegelt man das Bild (rote Pfeile in der Mitte), sieht es genau aus wie die quadratische Zuordnung von Folie 4: \( y(x) = k \cdot x^2 \). Beim Fallen ist x die Zeit t und k ist ½ g:

\( h(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2 \)

In Abhängigkeit der Zeit (Ich weiß, wie lange er fällt):

• Geschwindigkeit \( \vec v(t) = \vec g \cdot \Delta t \)
• Fallhöhe \( h(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2 \)

In Abhängigkeit der Höhe (Ich weiß, wie tief er fällt):

• Geschwindigkeit \( v(h) = \sqrt{2g \cdot h} \)
• Fallzeit \( t(h) = \sqrt{\frac{2h}{g}} \)

Die Formeln unten sind einfach die oberen, umgestellt. Wie, siehst du im Kasten „Woher kommt das ½?“ weiter unten.

Ein Flummi fällt 10 Sekunden. Wie schnell ist er? \( v = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 10\,\text{s} = 100\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 360\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \).

Die Farben auf der Folie: grün = g, blau = die gegebene Zeit. Umrechnen: m/s · 3,6 = km/h.

Ein Flummi fällt 2 Sekunden. Wie weit? \( h = \frac{1}{2} \cdot 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2\,\text{s})^2 = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4\,\text{s}^2 = 20\,\text{m} \).

Achtung: Erst die Zeit quadrieren (2 s · 2 s = 4 s²), dann malnehmen. Die s² kürzen sich weg, übrig bleibt m.

Ein Flummi fällt 20 m. Wie schnell wird er? \( v = \sqrt{2 \cdot 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 20\,\text{m}} = \sqrt{400\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} = 20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \).

Die Wurzel aus 400 ist 20, weil 20 · 20 = 400. Die Wurzel aus m²/s² ist m/s.

Wie lange braucht ein Flummi für 5 m? \( t = \sqrt{\frac{2 \cdot 5\,\text{m}}{10\,\text{m/s}^2}} = \sqrt{\frac{10\,\text{s}^2}{10}} = 1\,\text{s} \).

Die Meter kürzen sich weg (rot durchgestrichen), übrig bleibt s². Die Wurzel daraus ist s. „Experiment“: Das wurde im Hörsaal ausprobiert.

Er wird beschleunigt, aber es gibt eine Gegenkraft. Der Professor (Wim) hält ihn fest: \( \vec F_{Wim} \) zeigt nach oben, \( \vec F_G \) nach unten. Beide Pfeile sind gleich lang.

\( \vec F_G = -\vec F_{Wim} \): Das Minus heißt „gleich groß, aber genau andersherum“. Zusammen ergeben sie null, also bleibt der Flummi in Ruhe.

1. Trägheitsprinzip: Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit („schwerelos“). Dinge sind „faul“: Ohne Kraft ändert sich nichts.
2. Aktionsprinzip: Kraft gleich Masse mal Beschleunigung, \( \vec F = m \cdot \vec a \). Fester schieben heißt mehr Beschleunigung. Ein schwereres Ding wird bei gleicher Kraft weniger beschleunigt.
3. Reaktionsprinzip: Kraft = Gegenkraft („actio = reactio“). Drückst du gegen eine Wand, drückt die Wand genauso stark zurück.

Ein Axiom ist ein Grundsatz, den man nicht herleitet, sondern immer wieder beobachtet.

Oben: Zwei Rollwagen (Masse m₁ und m₂) drücken eine Feder zusammen. Unten: Die Feder wird gelöst und beide rollen auseinander, mit \( \vec v_1 \) nach links und \( \vec v_2 \) nach rechts.

• \( \vec p = m \cdot \vec v \), Einheit \( 1\,\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}} = 1\,\text{Ns} \)
• \( \vec F_1 = -\vec F_2 \): Die Feder drückt beide Wagen gleich stark (3. Axiom).
• \( \vec p_1 = -\vec p_2 \), also \( m_1 \vec v_1 = -m_2 \vec v_2 \): gleich viel Impuls, entgegengesetzt. Der schwere Wagen wird langsamer, der leichte schneller.

Der Satz oben: Bei einem Stoß überträgt eine Kraft F einen Impuls p auf eine Masse m.

In einem mechanisch abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls konstant. „Abgeschlossen“ heißt: Von außen schiebt oder zieht nichts mit.

Beispiel Kugelstoßpendel (Newton-Wiege): Eine Kugel knallt von links dagegen. Die mittleren Kugeln bleiben fast still, und rechts fliegt genau eine Kugel mit demselben Tempo weg. Ziehst du zwei Kugeln, fliegen zwei weg.

Zwei gleich schwere Klötze m (schwarz und blau) auf einer Bahn. Oben vor dem Stoß: Schwarz fährt mit v nach rechts, Blau kommt mit v/2 entgegen. Unten danach: Beide fahren nach rechts.

Bei gleichen Massen und elastischem Stoß tauschen die beiden einfach ihre Geschwindigkeiten. In der Vorlesung lief das als Animation. Probier es unten mit „Folie 32“ aus.

• Zentraler Stoß (links): Die Kugeln treffen sich genau auf der Linie durch ihre Mittelpunkte (×). Alles bleibt auf einer Linie. Vorher \( \vec v_1, \vec v_2 \), nachher \( \vec v_1{}', \vec v_2{}' \). Der Strich ′ heißt „nachher“. Die große Kugel m₁ und die kleine m₂ prallen voneinander ab.
• Nicht zentraler Stoß (rechts, zwei Münzen): Sie treffen sich schräg versetzt und fliegen in verschiedene Richtungen auseinander. Bei gleichen Massen fliegen sie im rechten Winkel (90°) auseinander.

Zwei Rollwagen (schwarz und blau), einer hat Kaugummi vorne dran. Wenn sie zusammenstoßen, kleben sie zusammen und fahren gemeinsam weiter.

„Unelastische Stöße mit elastischen Körpern!“ heißt: Die Wagen selbst sind hart und elastisch. Unelastisch wird der Stoß nur, weil sie aneinander kleben. Es kommt also auf den Stoß an, nicht auf das Material.

Oben der Hinweis: In Aufgaben kommt Reibung meist nur so vor, dass sie fehlt: „reibungsfreies System“. Dann darfst du sie einfach weglassen.

1. Die Figur schiebt ein wenig (\( \vec F \), orange). Die Kiste bewegt sich nicht. Die Haftreibung \( \vec F_H \) hält genau gleich stark dagegen.
2. Sie schiebt stärker, und die Haftreibung wächst mit. Die Kiste steht immer noch.
3. Sie schiebt mit voller Kraft. Die Haftreibung erreicht ihr Maximum \( \vec F_{H,krit} \) („kritisch“).
4. Die Kiste rutscht! Jetzt bremst die Gleitreibung \( \vec F_R \). Sie ist kleiner als die maximale Haftreibung (kürzerer Pfeil).

Unten: Die Reibung wirkt immer der Bewegung entgegen. Sie entsteht aus Formschluss (Rauheit: Berge und Täler verhaken sich) und molekularen Anziehungskräften (Teilchen kleben aneinander).

Eine Zwischenfolie: Jetzt kommt ein Ausflug („Exkurs“) zur Gravitation, mit einem Experiment in der Vorlesung.

\( |\vec F_G| = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \)

• Mehr Masse (m₁ oder m₂) heißt stärkere Anziehung.
• Mehr Abstand r heißt schwächere Anziehung. Und zwar quadratisch: doppelter Abstand gibt nur ¼ der Kraft.
• r misst man von Massenmittelpunkt zu Massenmittelpunkt. Bei der Erde also vom Erdmittelpunkt aus!
• Gravitationskonstante \( G = 6{,}68 \cdot 10^{-11}\,\frac{\text{Nm}^2}{\text{kg}^2} \), also 0,0000000000668. Eine winzige Zahl, darum ist Gravitation zwischen kleinen Dingen so schwach. (Genauer Wert: 6,674 · 10⁻¹¹.)

Teilt man die Kraft durch die Masse des Flummis, kürzt sich der Flummi weg:

\( \frac{F_G}{m_{Flummi}} = G \cdot \frac{m_{Erde}}{r^2} = g_{Erde} \)

Mit Zahlen: G = 6,68 · 10⁻¹¹ · m_Erde = 5,97 · 10²⁴ kg / (r = 6,37 · 10⁶ m)² = 9,81 m/s². Das ist das g von vorhin!

Weil sich die Masse des Flummis herauskürzt, fallen ohne Luft alle Dinge gleich schnell. Die Feder und der Hammer genauso.

Wie lange fällt ein Flummi aus 1 m? \( t = \sqrt{\frac{2s}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1\,\text{m}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}} = 0{,}45\,\text{s} \)

Dieselbe Kraft zieht auch die Erde zum Flummi (3. Axiom). Teilt man durch die Erdmasse:

\( g_{Flummi} = G \cdot \frac{m_{Flummi}}{r^2} = 6{,}68\cdot10^{-11} \cdot \frac{0{,}05\,\text{kg}}{(6{,}37\cdot 10^6\,\text{m})^2} = 8{,}23 \cdot 10^{-26}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

Wie weit bewegt sich die Erde in den 0,45 s, die der Flummi fällt?

\( s = \frac12 g t^2 = \frac12 \cdot 8{,}23\cdot10^{-26}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (0{,}45\,\text{s})^2 = 8{,}33 \cdot 10^{-27}\,\text{m} \)

Das ist eine Billion Billionen Mal kleiner als ein Millimeter. Viel, viel kleiner als ein Atomkern.

Ein Faden hängt oben an einer Decke (die Striche ////). Unten hängt eine kleine Kugel. Die senkrechte gestrichelte Linie ist die Gleichgewichtslage: Dort würde das Pendel in Ruhe hängen. Der gestrichelte Bogen zeigt den Weg der Kugel.

Das Pendel oszilliert (schwingt hin und her) um die Gleichgewichtslage mit der Schwingdauer

\( T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}} \)

Unabhängig von Auslenkung und Masse! (Das stimmt für kleine Auslenkungen, bis etwa 15–20°.)

Ein Pendel an einer Halterung, ganz links und ganz rechts ausgelenkt (rote Punkte). Die Kugel ist dort um Δh höher als ganz unten (schwarzer Punkt).

\( \Delta W_{pot} = m \cdot g \cdot \Delta h \), Einheit \( 1\,\frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}^2} = 1\,\text{Nm} = 1\,\text{J} \) (Joule).

W steht hier für Energie (von work, Arbeit). Schwerer, höher oder mehr g bedeutet jeweils mehr Lageenergie.

Jetzt steckt ein Stift unterhalb der Aufhängung. Schwingt das Pendel nach rechts, bleibt der Faden am Stift hängen und die Kugel schwingt auf einem kleineren Kreis weiter.

Trotzdem kommt sie genau auf dieselbe Höhe (gestrichelte Linie)! Sie hat nur so viel Energie, wie man am Anfang hineingesteckt hat. Höher geht es nicht, und ohne Reibung geht auch nichts verloren.

Neu: kinetische Energie \( \Delta W_{kin} = \frac12 m \cdot v^2 \).

• Oben an den Umkehrpunkten (rot): maximale W_pot, die Kugel steht kurz still (W_kin = 0).
• Unten (schwarz): maximale W_kin, am schnellsten, W_pot = 0.
• \( \max W_{kin} = \max W_{pot} \): Energieerhaltung! Die Energie wird nur umgewandelt, nie verbraucht.

Arbeit W wird verrichtet, wenn eine Kraft F über eine Strecke l ausgeübt wird: \( W = F \cdot l \), \( 1\,\text{Nm} = 1\,\text{J} \) (Joule).

Beispiel Hubarbeit: Der Flummi wird um Δh nach oben gehoben. Man muss gegen seine Gewichtskraft ziehen:

\( \vec F_G = g \cdot m = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}05\,\text{kg} = 0{,}5\,\text{N} \)

\( W = F_G \cdot \Delta h = 0{,}5\,\text{N} \cdot 0{,}2\,\text{m} = 0{,}1\,\text{J} \)

Das ist genau die Lageenergie m·g·Δh von vorhin. Hubarbeit wird als Lageenergie gespeichert.

• Links: Ein Männchen zieht einen Wagen mit einem schrägen Seil (Kraft \( \vec F \), Winkel α). Man kann \( \vec F \) in zwei Teile zerlegen: einen waagrechten \( \vec F_h \) und einen senkrechten. Nur die horizontale Kraft F_h leistet Arbeit, weil der Wagen waagrecht fährt. Der senkrechte Teil hebt den Wagen nur etwas an.
• Rechts: Ein Männchen trägt einen Sack waagrecht von links nach rechts. Es hält den Sack nach oben, läuft aber zur Seite. Kraft und Weg stehen senkrecht aufeinander, deshalb gilt: Keine Arbeit gegen die Schwerkraft! (Anstrengend ist es für die Muskeln trotzdem. Das ist Biologie, keine Mechanik.)

Die Leistung P ist der Quotient aus Energie W und Zeitspanne t: \( P = \frac{W}{t} \), Einheit \( 1\,\frac{\text{J}}{\text{s}} = 1\,\text{W} \) (Watt).

• Auch hier gibt es eine mittlere Leistung \( P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \): über eine Zeitspanne gemittelt.
• Und eine momentane Leistung \( P(t) = \frac{dW}{dt} \): genau in einem Moment.

Das ist genau dasselbe Muster wie bei der Geschwindigkeit (Δs/Δt und ds/dt). Nur steht hier Energie statt Weg.

Links ein Armskelett (Oberarm, Unterarm, Hand). Rechts das Ellenbogengelenk von nahem, mit einem roten Dreh-Pfeil.

Unsere Gelenke sind Drehpunkte: Die Knochen drehen sich darum wie ein Hebel um seine Achse. Deshalb ist das Thema für Medizin und Therapie so wichtig.

Ein Balken liegt auf einem Dreieck, dem Drehpunkt. Links drückt eine Kraft F₁ nach unten. Der blaue Abstand l₁ vom Drehpunkt heißt Hebelarm. Der gebogene Pfeil T₁ zeigt die Drehung.

Drehmoment \( T = F \cdot l \): Kraft mal Hebelarm. Einheit N·m. (Achtung: Das ist hier kein Joule, auch wenn die Einheit gleich aussieht!)

Jetzt zieht rechts auch eine Kraft F₂ mit dem Hebelarm l₂. Sie dreht andersherum (T₂).

Der Balken ist im Gleichgewicht, wenn beide Drehmomente gleich groß sind: \( F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2 \)

„Last mal Lastarm gleich Kraft mal Kraftarm.“

Ein Stab ist links an einem Lager drehbar befestigt. Unten hängt ein Gewicht (gelb), oben zieht ein Kraftmesser (grün, mit roter Skala).

1. Oben links: Kraftmesser und Gewicht sitzen an derselben Stelle. Der Kraftmesser zeigt genau die Gewichtskraft an: F₁ = F₂.
2. Oben rechts: Das Gewicht hängt außen, der Kraftmesser zieht weiter innen. Er braucht viel mehr Kraft (lange rote Skala). Das Lager wird dabei nach unten gedrückt (roter Pfeil links).
3. Unten: Das Gewicht hängt in der Mitte, der Kraftmesser zieht außen. Jetzt braucht er weniger Kraft (kurze Skala). Das Lager trägt den Rest (Pfeil nach oben).

Ein Arm hält eine Hantel. Der rote Muskel ist der Bizeps. Er setzt bei l₁ = 3 cm vom Ellenbogen an. Die Hantel sitzt bei l₂ = 30 cm.

• Gewichtskraft der 5-kg-Hantel: \( F_{Hantel} = m \cdot g = 5\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 50\,\text{N} \)
• Hebelgesetz: \( F_{Muskel} \cdot l_1 = F_{Hantel} \cdot l_2 \)
• Umgestellt: \( F_{Muskel} = F_{Hantel} \cdot \frac{l_2}{l_1} = 50\,\text{N} \cdot \frac{30\,\text{cm}}{3\,\text{cm}} = 500\,\text{N} \)

Muskelkraft = 10 · Gewichtskraft der Hantel. 500 N entsprechen dem Gewicht von 50 kg.

• Labil (links): ein Stab auf der Spitze, der Schwerpunkt S liegt oben. Schon ein Stups lässt S nach unten wandern (gestrichelter Bogen), und der Stab kippt um.
• Indifferent (Mitte): eine Kugel, S in der Mitte. Rollt sie, bleibt S immer gleich hoch (gerade gestrichelte Linie). Sie bleibt dort liegen, wo du sie hinschubst.
• Stabil (rechts): ein Gegenstand mit tiefem S. Kippt er, muss S nach oben (gestrichelte Bögen). Dann rollt er von selbst zurück.

Unten: Die Vektorsumme aller Kräfte und Drehmomente muss null sein. „Vektorsumme“ heißt, man zählt die Pfeile mit ihrer Richtung zusammen.

• Links: ein Seiltänzer über einer Stadt. Der rote Punkt ist sein Schwerpunkt, die rote Linie zeigt senkrecht nach unten. Sie muss genau auf das Seil treffen, denn das Seil ist seine winzige Aufstandsfläche. Mit den Armen gleicht er jedes Kippen aus.
• Rechts, Experiment: Eine Person sitzt aufrecht auf einem Stuhl. Eine zweite drückt ihr nur mit einem Finger auf die Stirn. Der Schwerpunkt (rot) liegt über dem Stuhl, nicht über den Füßen (blau, Aufstandsfläche). Weil sie sich nicht vorbeugen kann, kann sie nicht aufstehen, obwohl der Finger kaum drückt!